Rys. 1. Składowe szeregu Taylora w skali logarytmicznej
W przypadku wzmacniaczy, stopni przemiany, generatorów VCO, itd. dąży się do liniowego odwzorowania pewnej cechy sygnału wejściowego na inną cechę sygnału wyjściowego. Przykładowo, idealny wzmacniacz odpowiada na sygnał x(t) sygnałem y(t) spełniającym zależność y(t) = A·x(t), gdzie współczynnik A jest wzmocnieniem wzmacniacza.
Podobnie generator VCO odpowiada na sygnał x(t) sygnałem fy(t) = A·x(t), a zatem częstotliwość wyjściowa jest proporcjonalna do wartości sygnału wejściowego. W ogólnym przypadku, zależność sygnału wyjściowego od wejściowego, czyli funkcja przejścia (transmitancja), może przyjmować dowolnie skomplikowaną postać w zależności od konstrukcji układu.
Nie dość, że jest ona trudna do wyznaczenia, to jest zupełnie bezużyteczna w praktycznej ocenie liniowości układu (nie mówiąc już o porównaniu różnych rozwiązań układowych) ze względu na wymagany wysiłek obliczeniowy. Bazowanie na funkcji przejścia przy specyfikacji gotowych produktów i odnoszenie się do niej w kartach katalogowych zupełnie mijałoby się z celem. W praktyce potrzebne jest spójne kryterium porównawcze dla dowolnych układów przeznaczonych do danej aplikacji.
Punkt przechwytu n-tego rzędu
Definicja punktu przechwytu n-tego rzędu (IPn) bazuje na rozwinięciu funkcji przejścia układu w szereg Taylora:
y = A0 + A1x + A2x² + A3x³ + ... + Anxn
Rys. 2. Punkt przechwytu 3. rzędu i punkt kompresji 1 dB
Współczynnik A0 nie zmienia kształtu sygnału, wprowadza jedynie przesunięcie o stałą wartość. Pierwszy wyraz A1x to funkcja liniowa, gdzie A1 odpowiada wzmocnieniu układu. Pozostałe wyrazy Anxn reprezentują kolejno nieliniowości od 2. do n-tego rzędu. Ze względu na występujący w technice radiowej szeroki zakres wzmocnień wygodnie jest używać skali logarytmicznej do prezentacji zależności sygnałów, przy czym częściej porównuje się moce sygnałów, wyrażone zwykle w decybelach w odniesieniu do 1 mW (dBm).
Z takiego podejścia wynika też pewna korzyść. Jak pokazuje rysunek 1, prezentacja każdego z wyrazów szeregu Taylora Anxn jako funkcji y(x) w skali logarytmicznej to linia prosta o nachyleniu równym n, przecinająca oś y w punkcie log(An). Tym samym analiza pozornie skomplikowanego zagadnienia sprowadza się do zbadania wzajemnego położenia w układzie współrzędnych kilku prostych o znanym nachyleniu.
Nietrudno zauważyć, że niezależnie od tego, jak małe byłyby wartości współczynników dla wyrazów wyższych rzędów, zawsze będzie istniała taka wartość sygnału wejściowego, dla której prosta wyższego rzędu przetnie prostą związaną z wyrazem liniowym. To przecięcie prostej Anxn z prostą A1x wyznacza właśnie punkt przechwytu n-tego rzędu, czyli IPn. Współrzędne tego punktu, odpowiadające wartościom mocy sygnałów na wejściu i wyjściu, nazywane są odpowiednio OIPn i IIPn (Output IPn, Input IPn).
Powyżej punktu IPn składowa sygnału wyjściowego pochodząca od wyrazu nieliniowego n-tego rzędu byłaby większa od składowej związanej z wyrazem liniowym. Oznacza to, że dla wyższych wartości sygnału wejściowego zachowanie układu byłoby zdeterminowane przez wyraz nieliniowy. W rzeczywistych układach jednak znacznie wcześniej niż dojdzie do osiągnięcia któregokolwiek punktu przechwytu następuje nasycenie wyjścia układu (rys. 2).
Rys. 3. Filtracja zniekształceń harmonicznych
Punkt przechwytu jest, jak widać, parametrem poniekąd "wirtualnym", znajdującym się poza obszarem pracy urządzenia. Pomimo to, ma on duże znaczenie praktyczne wynikające z faktu, że IPn określa jednoznacznie położenie prostej n-tego rzędu w zakresie normalnej pracy układu. Daje to dokładną informację na temat mocy niepożądanych komponentów na wyjściu, wynikających z nieliniowości n-tego rzędu, występujących przy określonej mocy sygnału wejściowego.
Ze względu na fakt, że położenie prostej A1x wynika tylko ze wzmocnienia, często podaje się dla wygody tylko jedną współrzędną punktu IPn w zależności od typu układu. Drugą można wyznaczyć z prostej zależności OIPndBm = GdBm + IIPndBm. W przypadku nadajników i wzmacniaczy z reguły punkt przechwytu odniesiony jest do wyjścia (OIPn), zaś odbiorniki charakteryzowane są częściej w odniesieniu do wejścia (IIPn).
Na rysunku 2 oznaczono również parametr opisujący umowną granicę obszaru liniowego. Jest to punkt kompresji jednodecybelowej (compression point 1 dB, CP 1 dB), określający poziom mocy, przy którym następuje spadek rzeczywistego wzmocnienia o 1 dB względem prostej A1x. Pomiędzy IP3 i CP 1 dB nie ma bezpośredniego związku, gdyż IP3 to efekt wartości A1 i A3 wielomianu Taylora, a CP 1 dB wynika z rzeczywistej funkcji przejścia i warunków nasycenia wyjścia.
Z reguły potwierdza się empiryczna reguła OIP3 = OCP 1 dB + (8 ... 12 dB), przy czym różnica między tymi parametrami jest większa w przypadku nowoczesnych ultraliniowych wzmacniaczy niskoszumowych. Podobnie jak w przypadku IP3, CP 1 dB jest odniesiony do wejścia lub wyjścia.
Dlaczego IP3?
Rys. 4. Zniekształcenia intermodulacyjne 2. i 3. rzędu
W telekomunikacji jednym z głównych zagadnień jest przetwarzanie sygnału zmodulowanego, czyli takiego, który niezależnie od typu modulacji jest związany z jakąś częstotliwością nośną i przyległymi do niej pasmami (wstęgami bocznymi) niosącymi informację o sygnale użytkowym. Podstawowym sygnałem testowym jest tutaj sygnał sinusoidalny. Gdyby układ był idealnie liniowy, widmo sygnału wyjściowego zawierałoby tylko częstotliwość sygnału wejściowego.
W obecności nieliniowości n-tego rzędu sygnał wyjściowy będzie zawierał składowe o częstotliwościach harmonicznych sygnału wejściowego. Pojawienie się w sygnale wyjściowym częstotliwości, których nie było w sygnale wyjściowym, w przypadku układów wzmacniających jest zawsze niepożądane. W przypadku, gdy sygnał wejściowy zawiera tylko jedną częstotliwość, dosyć łatwo sobie z tym poradzić, ponieważ częstotliwości harmoniczne są na tyle oddalone od podstawowej, że wystarczy zastosowanie prostego filtru dolnoprzepustowego (rys. 3).
Sytuacja komplikuje się, gdy na wejście podamy sygnał testowy będący sumą dwóch lub więcej przebiegów sinusoidalnych o różniących się częstotliwościach. Rozpatrując nieliniowość n-tego rzędu, mamy do czynienia z podnoszeniem sumy dwóch przebiegów do n-tej potęgi, co powoduje powstanie nie tylko częstotliwości harmonicznych, ale również częstotliwości będącymi liniowymi kombinacjami częstotliwości podanych na wejście.
Opisuje je ogólna zależność kIMn = k1f1 + k2f2 + ... + knfn, gdzie kn może przyjmować dowolne wartości całkowite (dodatnie i ujemne), a fn to kolejne częstotliwości podstawowe podane na wejście. Te nadmiarowe częstotliwości niebędące harmonicznymi sygnałów wejściowych noszą nazwę zniekształceń intermodulacyjnych. Suma wartości bezwzględnych współczynników O = |k1| + |k2| + |k3| +...+ |kn| określa rząd zniekształceń.
Rysunek 4 ilustruje zniekształcenia intermodulacyjne generowane przez nieliniowości drugiego i trzeciego rzędu w przypadku sygnału wejściowego złożonego z dwóch częstotliwości (sygnał dwutonowy). Wyraz drugiego rzędu przyjmuje wtedy postać A2(x1 + x2)² = A2(x1² + x2² + 2x1x2). Dwa pierwsze wyrazy powodują powstanie zniekształceń harmonicznych 2f1 i 2f2, natomiast ostatni iloczyn sygnałów x1 i x2 to nic innego jak przemiana częstotliwości, odpowiedzialna za powstanie składowych o częstotliwościach |f1-f2| i f1+f2, czyli zniekształceń intermodulacyjnych 2. rzędu. Poza specyficznymi zastosowaniami, nie stanowią one problemu większego niż zniekształcenia harmoniczne ze względu na możliwość łatwej filtracji.
Rozpatrując analogicznie wyraz trzeciego rzędu, otrzymujemy A3(x1 + x2)³ = A3 (x1³ + x2³ + 3x12x2 + 3x1x2²). Dwa pierwsze wyrazy znowu generują harmoniczne, tym razem 3f1 i 3f2. Pozostałe wyrazy powodują powstanie nieco ciekawszych kombinacji: 2f1 + f2, 2f1 - f2, f1 + 2f2 oraz i 2f1 - f2, stanowiących zniekształcenia intermodulacyjne trzeciego rzędu.
Rys. 5. Graficzna zależność szerokości bezzakłóceniowego zakresu dynamicznego SFDR od punktu przechwytu IP3
O ile składowe 2f1 + f2 i f1 + 2f2 ciągle podlegają łatwej filtracji, o tyle pozostałe dwie mają bardzo przykrą cechę - im mniejsza różnica między częstotliwościami podstawowymi podawanymi na wejście, tym bliżej tych częstotliwości znajdą się składowe intermodulacyjne. Eliminacja tych składowych staje się trudna nawet z użyciem skomplikowanych filtrów.
Co więcej, często nie można nawet próbować ich usunąć, gdyż pojawiają się one wewnątrz pasma zajmowanego przez sygnał zmodulowany. Minimalizacja zniekształceń intermodulacyjnych powodowanych przez nieliniowość 3. rzędu, którą opisuje punkt IP3, jest zatem kluczowa dla prawidłowej obróbki sygnału użytkowego.
Podobna analiza przeprowadzona dla kolejnych wyrazów szeregu Taylora wykazuje, że nieliniowości nieparzystych rzędów są bardziej uciążliwe od parzystych. Ponieważ moc składowych wynikających z nieliniowości wyższych rzędów maleje ze wzrostem rzędu, schodząc stopniowo poniżej poziomu szumu, rzadko analizuje się zniekształcenia rzędów wyższych niż piąty.
Jak korzystać z IP3?
Rys. 6. Graficzna zależność między mocą produktów intermodulacji a punktem IP3
W tym momencie warto przeanalizować zachowanie wzmacniacza w zależności od mocy wejściowej. Ponieważ każdy układ charakteryzuje się określonym poziomem szumów, istnieje minimalny poziom mocy sygnału wejściowego, który może zostać wykryty. Dla bardzo małych poziomów mocy wejściowej przekraczających próg szumu wpływ nieliniowości wyższych rzędów jest znikomy i układ ma charakter liniowy.
Wraz ze wzrostem poziomu mocy, coraz większy udział w sygnale wyjściowym mają komponenty związane z nieliniowościami wyższych rzędów, co powoduje odchylenie charakterystyki rzeczywistej od prostej pierwszego rzędu w kierunku mniejszego wzmocnienia. Dodatkowo, ze względów konstrukcyjnych układ nie może realizować swojej funkcji przejścia dla dowolnych mocy - przy pewnym poziomie dochodzi do nasycenia wyjścia. Dalsze zwiększanie mocy wejściowej prowadzi już tylko do powstawania coraz większych zniekształceń i ewentualnie do zniszczenia układu.
Taką rzeczywistą charakterystykę przejściową ilustruje rysunek 5, na którym dodatkowo naniesiono proste 1. i 3. rzędu, punkty IP3 i OC 1 dB oraz oznaczono poziomy maksymalnej mocy wyjściowej (nasycenia) i szumów. Punkty, w których proste 1. i 3. rzędu przecinają poziom szumu, wyznaczają bezzakłóceniowy zakres dynamiczny (Spurious Free Dynamic Range, SFDR).
Gdy moc wejściowa mieści się w zakresie, w którym prosta 1. rzędu przebiega poniżej poziomu szumu obecnego na wyjściu, sygnał nie zostanie wykryty. Punkt, w którym prosta A1x przekracza poziom szumu, określa poziom mocy najsłabszego sygnału wejściowego (Minimum Detectable Signal, MDS), jaki można wykryć na wyjściu.
Rys. 6. Graficzna zależność między mocą produktów intermodulacji a punktem IP3
Podobnie wszystkie wygenerowane zakłócenia intermodulacyjne toną w szumie, dopóki prosta 3. rzędu nie znajdzie się powyżej jego poziomu. Im mniejszy współczynnik A3, tym bardziej prosta 3. rzędu przesuwa się w dół i IP3 rośnie. Tym samym moc zakłóceń harmonicznych i intermodulacyjnych na wyjściu przy danej mocy wejściowej maleje oraz poszerza się SFDR. Zależność SFDR od IP3 wyraża się wzorem SFDR = (2/3) · (IIP3 - MDS).
Jeśli urządzenie z różnych przyczyn pracuje przy mocy wejściowej powyżej zakresu SFDR, warto pamiętać, że obniżenie mocy wejściowej o 1 dB zwiększa odstęp produktów intermodulacji od sygnału pożądanego o 2 dB (czyli zmniejsza moc zniekształceń o 3 dB). Wynika to z różnicy nachylenia prostych 1. i 3. rzędu.
Widać więc, że pomimo wirtualnego charakteru parametru IP3 pozwala on określić moc produktów intermodulacji 3. rzędu w użytkowym zakresie pracy urządzenia i odwrotnie - analizując pomiary widma sygnału wyjściowego dla mocy wyraźnie niższej niż punkt kompresji jednodecybelowej, można wyznaczyć wartość IP3.
Rysunek 6 pokazuje sposób obliczania IPn w oparciu o zmierzone moce. Na jego podstawie dosyć łatwo można wykazać, że OIPn = Pout + ΔP/(n-1) oraz IIPn = Pin + ΔP/(n-1). Czasem noty katalogowe zamiast IP3 podają parametr IMD3 dla sygnału dwutonowego, wyrażony w dBc. Określa on moc zniekształceń intermodulacyjnych 3. rzędu (3rd order Inter Modulation Distortion) w odniesieniu do mocy sygnału podstawowego (nośnej), czyli wprost wielkość ΔP występującą w powyższych zależnościach. Parametr IMD3 musi być podawany z wartością mocy wejściowej, jaka mu odpowiada, aby jednoznacznie określić poziom zniekształceń.
Pomiar IP3
Rys. 8. Schemat blokowy układu do pomiaru IP3
Wyznaczenie IP3 sprowadza się do wykonania pomiaru różnicy między mocą składowych podstawowych a mocą produktów intermodulacji przy wymuszeniu dwutonowym o równych mocach każdego z tonów. Zgodnie z rysunkiem 7, dla znanych częstotliwości wymuszenia, znane są częstotliwości produktów intermodulacji. Odczytując wartości osiągane przez składowe podstawowych i intermodulacyjne, można obliczyć poszukiwany punkt OIP3.
Jak już wspomniano, wartość mocy dostarczanej na wejście należy dobrać tak, aby zniekształcenia intermodulacyjne były dobrze widoczne na tle szumu, a jednocześnie zachowany był odpowiedni margines od CP 1 dB. Poprawność doboru mocy można potwierdzić prostym eksperymentem. Wystarczy wykonać pomiar dla co najmniej dwóch wartości mocy sygnału i sprawdzić, czy uzyskuje się 3·n-krotną zmianę mocy zniekształceń dla n-krotnej zmiany mocy sygnału. Jeśli tak, to znaczy, że pomiar odbywa się we właściwym zakresie mocy.
Schemat typowego układu pomiaru IP3 przedstawia rysunek 8. Sygnał z dwóch generatorów podawany jest na sumator, zapewniający jednocześnie separację generatorów, a następnie poprzez filtr dolnoprzepustowy eliminujący harmoniczne sygnałów podstawowych, do wejścia badanego układu. Sygnał z wyjścia podawany jest zwykle poprzez dodatkowy tłumik na wejście analizatora widma. Typowy widok ekranu analizatora podczas wykonywania pomiarów przedstawia rysunek 9. W przedstawionym przykładzie OIP3 = (4,4 + 58 / 2) dBm = 33,4 dBm dla 20 MHz.
Rys. 9. Przykładowy pomiar punktu IP3
Zaprezentowaną metodę pomiaru można zastosować, gdy wszystkie interesujące składowe leżą w paśmie przenoszenia układu badanego (in-band measurement), jak to zwykle bywa przy badaniu wzmacniaczy. Dla całego toru odbiornika czasem może się okazać, że nie wszystkie składowe pojawiają się na wyjściu, gdyż przykładowo tylko jeden z produktów intermodulacji trafia w pasmo przenoszenia wzmacniacza pośredniej częstotliwości.
Rysunek 10 pokazuje sytuację, w której moc składowej podstawowej nie może być bezpośrednio odczytana z ekranu analizatora, bo znajduje się ona poza pasmem (out-of-band measurement). Stosuje się wówczas dodatkowy generator pozwalający obliczyć moc tzw. tonu wirtualnego, którą można byłoby odczytać na wyjściu, gdyby tor odbiornika nie ograniczał pasma.
W pierwszym kroku oblicza się wzmocnienie całego toru, podając na wejście tylko ton pomocniczy leżący w paśmie przenoszenia, jak ilustruje rysunek 11a. Następnie odłącza się generator pomocniczy i włącza generatory tonów podstawowych. Mnożąc moc na wejściu układu badanego przez wzmocnienie uzyskane w poprzednim kroku, oblicza się moc tonu wirtualnego. Mierząc składową intermodulacji leżącą w paśmie przenoszenia, można już obliczyć poszukiwany punkt IP3 (rys. 11b).
Znając parametry IP3i i wzmocnienia Gi poszczególnych bloków urządzenia, można obliczyć IP3CASC połączenia kaskadowego N bloków. Produkty intermodulacji położone w widmie blisko sygnału podstawowego, propagując przez kolejne bloki, mają tendencję do pozostawania z nim w fazie. Przy tym założeniu, odpowiadającemu najgorszemu przypadkowi, korzysta się z formuły 1/OIP3CASC = 1/(G2·G3·..·GN·OIP31) + ... + 1/(GN·OIP3N-1) + 1/(OIP3N) lub 1/IIP3CASC = 1/IIP31 + G1/IIP32 + ... + (G1·G2·...·GN-1)/(IIP3N).
Trudności praktyczne
Rys. 10. Przypadek filtrowania tonów testowych przez tor odbiornika
Przedstawione podstawy teoretyczne wydają się niezbyt skomplikowane, podobnie jak metoda pomiaru. Należy jednak pamiętać o kilku szczegółach. Generatory sygnałów testowych muszą charakteryzować się wysoką czystością sygnału sinusoidalnego, a sumator zapewniać dobrą separację generatorów, aby dostarczyć sygnału zawierającego tylko dwie częstotliwości podstawowe o równych mocach.
Na jego wyjściu z reguły trzeba zastosować filtr ograniczający harmoniczne i szum wysokiej częstotliwości. Analizator musi charakteryzować się niskim poziomem szumów własnych i niskimi własnymi zniekształceniami intermodulacyjnymi. Analizator podlega tym samym kryteriom doboru mocy wejściowej, co układ badany - moc nie może być zbyt duża, gdyż mogą ujawnić się produkty intermodulacji samego analizatora.
Dlatego na jego wejściu należy zastosować regulowany tłumik, który pozwala stwierdzić, czy wynik pomiaru zależy od wartości ustawionego tłumienia. Jeśli zależy, to znaczy, że przekroczony jest zakres SFDR analizatora i należy zwiększyć tłumienie. Poza problemami związanymi z samą konfiguracją testową trzeba zdawać sobie sprawę z tego, że teoretyczne wyprowadzenie punktu IP3 bazuje na rozwinięciu funkcji przejścia w szereg Taylora.
Jak wiadomo, ze wzrostem częstotliwości pracy układów ujawniają się niepożądane cechy elementów, a zatem komplikują się ich modele, z których wynika funkcja przejścia. To powoduje pewną zależność współczynników szeregu Taylora, a tym samym IP3, od częstotliwości sygnałów podstawowych.
Rys. 11. Zasada pomiaru IP3 poza pasmem
Ponadto, przy pomiarach wielopunktowych, obserwuje się czasem pewne odchylenie rzeczywistych wartości intermodulacji od teoretycznej prostej 3. rzędu. Nie zawsze wynikają one wprost ze zbliżania się do punktu kompresji. Mając więc na uwadze niestałość modelu matematycznego w funkcji amplitudy i częstotliwości, wyniki pomiarów należy zawsze podawać z warunkami, w których pomiar się odbywał.
W przypadku połączenia kaskadowego wiarygodność podanych teoretycznych zależności jest ograniczona, gdyż opierają się one na dosyć daleko idących uproszczeniach:
- częstotliwość nie wpływa na IP3,
- wszystkie kolejne stopnie są idealnie dopasowane,
- tony podstawowe leżą w paśmie przenoszenia,
- sygnał biegnie jedną drogą od wejścia do wyjścia,
- wzmocnienie nie zależy od poziomu mocy,
- zakłócenia intermodulacyjne propagują tylko w jednym kierunku (od we do wy).
W rzeczywistym torze odbiornika czy nadajnika o pewnym stopniu złożoności zwykle żadne z tych założeń nie jest do końca spełnione. Wynik obliczony dla kaskady na podstawie podanych zależności należy traktować orientacyjnie. Dużo bardziej wiarygodne wyniki daje pomiar lub przynajmniej symulacja za pomocą dostępnych na rynku pakietów oprogramowania EDA, przeznaczonych do symulacji obwodów radiowych (np. Spectrasys, Microwave Office).
Symulacja standardowymi symulatorami obwodów klasy SPICE jest w przypadku badania intermodulacji niezasadna. Pomimo dużego nakładu obliczeniowego związanego ze stosowaną metodą analizy obwodu w dziedzinie czasu, rezultaty związane ze zniekształceniami harmonicznymi i intermodulacyjnymi obarczone są dużymi błędami.
Wynikają one z braku modeli fizycznych uwzględniających z wystarczającą dokładnością dynamikę układu oraz wpływ punktu pracy i częstotliwości na funkcję przejścia. Symulacja w dziedzinie częstotliwości wykorzystująca zaawansowany aparat matematyczny daje tutaj znacznie lepsze efekty. Punkt IP3 jest dobrym wyznacznikiem liniowości układu, umożliwiającym ocenę poziomu zniekształceń intermodulacyjnych i optymalny dobór poziomu sygnału wejściowego.
Stanowi też wygodne kryterium oceny podzespołów i całych torów sygnałowych zarówno dla projektantów, jak i odbiorców gotowych produktów. Jest to szczególnie istotne wtedy, gdy przeprowadzenie pomiarów jest niemożliwe ze względu na ograniczony dostęp do zaawansowanej aparatury pomiarowej.
Arkadiusz Golec
